Taux global et taux moyen d'évolution

Un collectionneur a acheté il y a trois ans un livre rare dont il ne reste plus que deux exemplaires dans le monde. Sa valeur augmente tous les ans :

• la première année, la valeur a augmenté de `10\%` ;
  
• la deuxième année, elle a augmenté de \(5\,\%\)  ;
  
• la troisième année, du fait de la disparition de l'autre exemplaire, la valeur du dernier exemplaire a augmenté de \(500~\%\) .
  

1. Calculer le taux global d'évolution du livre.

2. Quel est le taux annuel moyen d'évolution de ce livre ?

Solution

Le réflexe est de passer par les coefficients multiplicateurs.

1. Le coefficient multiplicateur associé à l'évolution globale recherchée est égal à :
\(C_\text{global}=(1+0{,}1)(1+0{,}05)(1+5)=6{,}93\) .

Le taux d'évolution est donc :  \(100(6{,}93-1)=593\) .                                                  \(\)

Le prix de ce livre rare a donc augmenté de `593\%` en 3 ans !

2. \((C_\text{global})^{\frac{1}{3}}=6{,}93^{\frac{1}{3}}\simeq 1{,}91\)

Le taux moyen annuel est donc d'environ `91\%` .